حل کاردرکلاس صفحه 87 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 87 - کار در کلاس 1 این مسئله یک کاربرد بسیار مهم از رابطه‌ی فیثاغورس در هندسه فضایی و حجم‌ها را نشان می‌دهد. وقتی یک قطاع دایره به مخروط تبدیل می‌شود، شعاع قطاع تبدیل به **مولد مخروط** ($l$) و محیط کمان قطاع تبدیل به **محیط قاعده‌ی مخروط** می‌شود. برای پیدا کردن ارتفاع مخروط ($h$)، از **مثلث قائم‌الزاویه‌ی** درون مخروط استفاده می‌کنیم که اضلاع آن عبارتند از: 1. **شعاع قاعده ($r$)** (ضلع قائم اول) 2. **ارتفاع مخروط ($h$)** (ضلع قائم دوم) 3. **مولد مخروط ($l$)** (وتر) رابطه‌ی فیثاغورس به صورت زیر است: $$\mathbf{r^2 + h^2 = l^2}$$ --- ### **گام ۱: تعیین مولد مخروط ($l$)** مولد مخروط همان شعاع دایره‌ای است که قطاع از آن بریده شده است: $$l = 10 \text{ cm}$$ ### **گام ۲: تعیین شعاع قاعده ($r$)** قطر قاعده $12$ سانتی‌متر است. شعاع قاعده نصف قطر است: $$r = \frac{\text{قطر}}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ cm}$$ ### **گام ۳: محاسبه ارتفاع ($h$) با رابطه‌ی فیثاغورس** $$r^2 + h^2 = l^2$$ $$6^2 + h^2 = 10^2$$ $$36 + h^2 = 100$$ **محاسبه $h^2$:** $$h^2 = 100 - 36$$ $$h^2 = 64$$ **محاسبه $h$:** $$h = \sqrt{64}$$ $$\mathbf{h = 8 \text{ cm}}$$ **نتیجه‌گیری:** ارتفاع این مخروط $8$ سانتی‌متر است. این اعداد ($6$، $8$، $10$) یک سه‌تایی فیثاغورسی معروف را تشکیل می‌دهند.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 87 - فعالیت 2 این فعالیت سه روش مختلف برای رسم یک پاره‌خط به طول گنگ ($\sqrt{10}$) را نشان می‌دهد. هر سه دانش‌آموز به روش‌های درستی عمل کرده‌اند، اما روش‌های آن‌ها با هم متفاوت است. ### **۱. توضیح روش زهرا:** روش زهرا یک **روش هندسی (ساخت و ساز)** برای رسم ریشه‌های دوم متوالی است. او از **مارپیچ فیثاغورس** استفاده می‌کند . * **توضیح راه حل:** او کار را با رسم یک مثلث قائم‌الزاویه با اضلاع قائم $1$ و $1$ شروع می‌کند. وتر این مثلث $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$ است. سپس این وتر را به عنوان یکی از اضلاع قائم مثلث بعدی در نظر می‌گیرد و ضلع قائم دیگر را $1$ در نظر می‌گیرد. وتر مثلث جدید $\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2} = \sqrt{3}$ است. با تکرار این فرآیند، او به طول $\sqrt{10}$ می‌رسد: $$\sqrt{(\sqrt{9})^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$$ * **ویژگی:** این روش بسیار **دقیق** است و مقدار $\sqrt{10}$ را به صورت کاملاً **هندسی** (بدون نیاز به تقریب) روی محور یا صفحه نمایش می‌دهد. اما **طولانی** است و نیاز به دقت بالا در رسم مثلث‌های متعدد دارد. ### **۲. توضیح روش سیما:** روش سیما نیز یک **روش هندسی (ساخت و ساز)** است، اما **ساده‌تر** و مستقیم‌تر از روش زهرا است. او از **رابطه‌ی فیثاغورس** برای پیدا کردن سریع‌تر $\sqrt{10}$ استفاده می‌کند. * **توضیح راه حل:** او به دنبال دو عدد می‌گردد که مجموع مجذور آن‌ها $10$ شود. این دو عدد $1$ و $3$ هستند (چون $1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$). سپس یک مثلث قائم‌الزاویه با اضلاع قائم $1$ سانتی‌متر و $3$ سانتی‌متر رسم می‌کند. طبق رابطه‌ی فیثاغورس، وتر این مثلث دقیقاً $\sqrt{10}$ سانتی‌متر است. * **ویژگی:** این روش **دقیق‌تر** از روش مهسا و **سریع‌تر** از روش زهرا است. پاره‌خط رسم شده کاملاً دقیق و **بدون تقریب** است. ### **۳. توضیح روش مهسا:** روش مهسا یک **روش حسابی (محاسباتی و تقریبی)** است. * **توضیح راه حل:** او با استفاده از ماشین حساب، مقدار عددی $\sqrt{10}$ را که تقریباً $3.16$ است، به دست می‌آورد و سپس این مقدار تقریبی ($3.1$ یا $3.16$) را با خط‌کش رسم می‌کند. * **ویژگی:** این روش **سریع** است اما **غیردقیق** یا **تقریبی** است، زیرا ریشه‌ی $10$ یک عدد گنگ (اعشاری نامتناهی و بدون الگو) است و ما نمی‌توانیم آن را با خط‌کش به طور کامل دقیق رسم کنیم. دقت رسم او به دقت خط‌کش و میزان گرد کردن عدد ($3.16 \approx 3.1$) بستگی دارد. ### **نتیجه‌گیری:** * **روش هندسی:** زهرا و سیما (روش‌های دقیق و بدون تقریب). * **روش حسابی:** مهسا (روش تقریبی و با استفاده از ماشین حساب).